表达式求值表达式求值要解决的问题一般是输入一个字符串表示的表达式，要求输出它的值．当然也有变种比如表达式中是否包含括号，指数运算，含多少变量，判断多个表达式是否等价，等等．
表达式一般需要先进行语法分析（grammer parsing）再求值，也可以边分析边求值，语法分析的作用是检查输入的字符串是否是一个合法的表达式，一般使用语法分析器（parser）解决．
表达式包含两类字符：运算数和运算符．对于长度为 𝑛n 的表达式，借助合适的分析方法，可以在 𝑂(𝑛)O(n) 的时间复杂度内完成分析与求值．
表达式树与逆波兰表达式一种递归分析表达式的方法是，将表达式当成普通的语法规则进行分析，分析后拆分成如图所示的表达式树，然后在树结构上自底向上进行运算．
表达式树上进行 树的遍历 可以得到不同类型的表达式．算术表达式分为三种，分别是前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式．中缀表达式是日常生活中最常用的表达式；后缀表达式是计算机容易理解的表达式．
前序遍历对应前缀表达式（波兰式）中序遍历对应中缀表达式后序遍历对应后缀表达式（逆波兰式）逆波兰表达式（后缀表达式）是书写数学表达式的一种形式，其中运算符位于其操作数之后．例如，以下表达式：
𝑎+𝑏∗𝑐∗𝑑+(𝑒−𝑓)∗(𝑔∗ℎ+𝑖)a+b∗c∗d+(e−f)∗(g∗h+i)可以用逆波兰表达式书写：
𝑎𝑏𝑐∗𝑑∗+𝑒𝑓−𝑔ℎ∗𝑖+∗+abc∗d∗+ef−gh∗i+∗+因此，逆波兰表达式与表达式树一一对应．逆波兰表达式不需要括号表示，它的运算顺序是唯一确定的．
逆波兰表达式的方便之处在于很容易在线性时间内计算．举个例子：在逆波兰表达式 3 2 ∗ 1 −3 2 ∗ 1 − 中，首先计算 3 ×2 =63×2=6（使用最后一个运算符，即栈顶运算符），然后计算 6 −1 =56−1=5．可以看到：对于一个逆波兰表达式，只需要 维护一个数字栈，每次遇到一个运算符，就取出两个栈顶元素，将运算结果重新压入栈中．最后，栈中唯一一个元素就是该逆波兰表达式的运算结果．该算法拥有 𝑂(𝑛)O(n) 的时间复杂度．
采用递归的办法分析表达式是否成功，依赖于语法规则的设计是否合理，即，是否能够成功地得到指定的表达式树．例如：
𝑎+𝑏∗𝑐a+b∗c根据加号与乘号的运算优先级不同，该中缀表达式可能转化为两种不同的表达式树．可见，语法规则的设计高度依赖于运算符的优先级．借助运算符的优先级设计相应递归的语法规则，事实上是一件不容易的事情．
下文介绍的办法将运算符与它的优先级视为一个整体，采用非递归的办法，直接根据运算符的优先级来分析与计算表达式．
只含左结合的二元运算符的含括号表达式考虑简化的问题．假设所有运算符都是二元的：所有运算符都有两个参数．并且所有运算符都是左结合的：如果运算符的优先级相等，则从左到右执行．允许使用括号．
对于这种类型的中缀表达式的计算，可以将其转化为后缀表达式再进行计算．定义两个 栈 来分别存储运算符和运算数，每当遇到一个数直接放进运算数栈．每个运算符块对应于一对括号，运算符栈只对于运算符块的内部单调．每当遇到一个操作符时，要查找运算符栈中最顶部运算符块中的元素，在运算符块的内部保持运算符按照优先级降序进行适当的弹出操作，弹出的同时求出对应的子表达式的值．
以下部分用「输出」表示输出到后缀表达式，即将该数字放在运算数栈上，或者弹出运算符和两个操作数，运算后再将结果压回运算数栈上．从左到右扫描该中缀表达式：
如果遇到数字，直接输出该数字．如果遇到左括号，那么将其放在运算符栈上．如果遇到右括号，不断输出栈顶元素，直至遇到左括号，左括号出栈．换句话说，执行一对括号内的所有运算符．如果遇到其他运算符，不断输出所有运算优先级大于等于当前运算符的运算符．最后，新的运算符入运算符栈．在处理完整个字符串之后，一些运算符可能仍然在堆栈中，因此把栈中剩下的符号依次输出，表达式转换结束．以下是四个运算符 ++、−−、∗∗、// 的此方法的实现：
示例代码 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67bool delim(char c) { return c == ' '; }
bool is_op(char c) { return c == '+' || c == '-' || c == '*' || c == '/'; }
int priority(char op) {
if (op == '+' || op == '-') return 1;
if (op == '*' || op == '/') return 2;
return -1;
}
void process_op(stack
int r = st.top(); // 取出栈顶元素，注意顺序
st.pop();
int l = st.top();
st.pop();
switch (op) {
case '+':
st.push(l + r);
break;
case '-':
st.push(l - r);
break;
case '*':
st.push(l * r);
break;
case '/':
st.push(l / r);
break;
}
}
int evaluate(string& s) { // 也可以改造为中缀表达式转换后缀表达式
stack
stack
for (int i = 0; i < (int)s.size(); i++) {
if (delim(s[i])) continue;
if (s[i] == '(') {
op.push('('); // 2. 如果遇到左括号，那么将其放在运算符栈上
} else if (s[i] == ')') { // 3. 如果遇到右括号，执行一对括号内的所有运算符
while (op.top() != '(') {
process_op(st, op.top());
op.pop(); // 不断输出栈顶元素，直至遇到左括号
}
op.pop(); // 左括号出栈
} else if (is_op(s[i])) { // 4. 如果遇到其他运算符
char cur_op = s[i];
while (!op.empty() && priority(op.top()) >= priority(cur_op)) {
process_op(st, op.top());
op.pop(); // 不断输出所有运算优先级大于等于当前运算符的运算符
}
op.push(cur_op); // 新的运算符入运算符栈
} else { // 1. 如果遇到数字，直接输出该数字
int number = 0;
while (i < (int)s.size() && isalnum(s[i]))
number = number * 10 + s[i++] - '0';
--i;
st.push(number);
}
}
while (!op.empty()) {
process_op(st, op.top());
op.pop();
}
return st.top();
}
这种隐式使用逆波兰表达式计算表达式的值的算法的时间复杂度为 𝑂(𝑛)O(n)．通过稍微修改上述实现，还可以以显式形式获得逆波兰表达式．
一元运算符与右结合的运算符现在假设表达式还包含一元运算符，即只有一个参数的运算符．一元加号和一元减号是一元运算符的常见示例．
这种情况的一个区别是，需要确定当前运算符是一元运算符还是二元运算符．
注意到，在一元运算符之前一般有另一个运算符或开括号，如果一元运算符位于表达式的最开头则没有．在二元运算符之前，总是有一个运算数或右括号．因此，可以标记下一个运算符是否一元运算符．
此外，需要以不同的方式执行一元运算符和二元运算符，让一元运算符的优先级高于所有二元运算符．应注意，一些一元运算符，例如一元加号和一元减号，实际上是右结合的．
右结合意味着，每当优先级相等时，必须从右到左计算运算符．
如上所述，一元运算符通常是右结合的．右结合运算符的另一个示例是求幂运算符．对于 𝑎 ∧𝑏 ∧𝑐a∧b∧c，通常被视为 𝑎𝑏𝑐abc，而不是 (𝑎𝑏)𝑐(ab)c．
为了正确地处理这类运算符，相应的改动是，如果优先级相等，将推迟运算符的出栈操作．
需要改动的代码如下．将：
1while (!op.empty() && priority(op.top()) >= priority(cur_op))
换成
1
2
3while (!op.empty() &&
((left_assoc(cur_op) && priority(op.top()) >= priority(cur_op)) ||
(!left_assoc(cur_op) && priority(op.top()) > priority(cur_op))))
其中 left_assoc 是一个函数，它决定运算符是否为左结合的．
这里是二进制运算符 ++、−−、∗∗、// 和一元运算符 ++ 和 −− 的实现：
示例代码 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92bool delim(char c) { return c == ' '; }
bool is_op(char c) { return c == '+' || c == '-' || c == '*' || c == '/'; }
bool is_unary(char c) { return c == '+' || c == '-'; }
int priority(char op) {
if (op < 0) // unary operator
return 3;
if (op == '+' || op == '-') return 1;
if (op == '*' || op == '/') return 2;
return -1;
}
void process_op(stack
if (op < 0) {
int l = st.top();
st.pop();
switch (-op) {
case '+':
st.push(l);
break;
case '-':
st.push(-l);
break;
}
} else { // 取出栈顶元素，注意顺序
int r = st.top();
st.pop();
int l = st.top();
st.pop();
switch (op) {
case '+':
st.push(l + r);
break;
case '-':
st.push(l - r);
break;
case '*':
st.push(l * r);
break;
case '/':
st.push(l / r);
break;
}
}
}
int evaluate(string& s) {
stack
stack
bool may_be_unary = true;
for (int i = 0; i < (int)s.size(); i++) {
if (delim(s[i])) continue;
if (s[i] == '(') {
op.push('('); // 2. 如果遇到左括号，那么将其放在运算符栈上
may_be_unary = true;
} else if (s[i] == ')') { // 3. 如果遇到右括号，执行一对括号内的所有运算符
while (op.top() != '(') {
process_op(st, op.top());
op.pop(); // 不断输出栈顶元素，直至遇到左括号
}
op.pop(); // 左括号出栈
may_be_unary = false;
} else if (is_op(s[i])) { // 4. 如果遇到其他运算符
char cur_op = s[i];
if (may_be_unary && is_unary(cur_op)) cur_op = -cur_op;
while (!op.empty() &&
((cur_op >= 0 && priority(op.top()) >= priority(cur_op)) ||
(cur_op < 0 && priority(op.top()) > priority(cur_op)))) {
process_op(st, op.top());
op.pop(); // 不断输出所有运算优先级大于等于当前运算符的运算符
}
op.push(cur_op); // 新的运算符入运算符栈
may_be_unary = true;
} else { // 1. 如果遇到数字，直接输出该数字
int number = 0;
while (i < (int)s.size() && isalnum(s[i]))
number = number * 10 + s[i++] - '0';
--i;
st.push(number);
may_be_unary = false;
}
}
while (!op.empty()) {
process_op(st, op.top());
op.pop();
}
return st.top();
}
参考资料本页面主要译自博文 Разбор выражений. Обратная польская нотация 与其英文翻译版 Expression parsing．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．
延申阅读Operator-precedence_parserShunting yard algorithm习题NOIP2013 普及组 表达式求值后缀表达式Transform the Expression本页面最近更新：2026/1/7 08:56:54，更新历史发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！本页面贡献者：Ir1d, Anguei, Yanjun-Zhao, HeRaNO, abc1763613206, c8ef, Henry-ZHR, hsfzLZH1, ksyx, sshwy, Tiphereth-A, 0x03A6, CCXXXI, cxc654321, Early0v0, Enter-tainer, Great-designer, Konano, Lynricsy, nanmenyangde, shuzhouliu, Siger Young, siger-young, ttyS0, Xeonacid本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用